Логарифмирование
В работе Райзела изучаются свойства частных Ферма 

где и  -- взаимно простые целые числа, , а  -- функция Кармайкла, определенная следующим образом. Если , где -- конечное множество простых чисел, а , то есть наименьшее общее кратное чисел при , которые равны 

Нетрудно заметить, что есть максимум порядков элементов группы . 
Основным свойством частных Ферма является следующая формула: 

аналогичная известному свойству логарифмической функции. Как оказалось, частные Ферма в некоторых случаях могут быть полезны для вычисления дискретных логарифмов. Так, в [Ries] показано, что когда является -низким (т. е. если , где  -- различные нечетные простые числа, а , то , где нечетно и не делится ни на одно из ), вычисление логарифмов в в некоторых случаях может быть проведено быстро. 
Изучение частных Ферма продолжено в работе Ю. В. Нестеренко, где доказано следующее утверждение. 
Теорема.  Пусть , где  -- различные нечетные простые числа, а , -- -низкое число, причем для любого . Тогда 
    1) если , то из сравнения следует, что ; это значит, что по существу является отображением ; 
    2) ; 
    3) существует элемент порядка (максимального порядка в группе ) такой, что . 
Покажем, как вышеприведенная теорема позволяет эффективно находить дискретные логарифмы в группе по основанию из п. 3 теоремы. Пусть , где . Тогда согласно основному свойству частных Ферма , откуда можно однозначно найти искомый дискретный логарифм , так как . Отметим, что если не является степенью в группе , то может принимать совершенно произвольные значения. 
В той же работе	 указан рекуррентный процесс построения по данному натуральному числа , удовлетворяющего условиям теоремы и такого, что и . Однако этот процесс требует разложения на простые множители некоторых чисел, что является вычислительно трудной задачей. Кроме того, в [Нест] с помощью частных Ферма показано, что если известно разложение на простые множители, то задача дискретного логарифмирования в группе сводима за полиномиальное от время к аналогичным задачам в группах , где пробегает множество простых делителей . В частности, если гладкое (т. е. имеет только небольшие простые делители), то дискретные логарифмы в группе можно вычислять эффективно. 
Предложен простой способ логарифмирования в циклической группе ; этот способ сводится к быстрому вычислению логарифма для через логарифм для .