Криптосистемы с эллиптическими кривыми
Эллиптические кривые изучались многие годы, и по этому вопросу существует огромное количество литературы. В 1985 году Нил Коблиц (Neal Koblitz) и B.C. Миллер (V. S. Miller) независимо предложили использовать их для криптосистем с открытыми ключами. Они не изобрели нового криптографического алгоритма, использующего эллиптические кривые над конечными полями, но реализовали существующие алгоритмы, подобные Diffie-Hellman, с помощью эллиптических кривых.
Эллиптические кривые вызывают интерес, потому что они обеспечивают способ конструирования "элементов" и "правил объединения", образующих группы. Свойства этих групп известны достаточно хорошо, чтобы использовать их для криптографических алгоритмов, но у них нет определенных свойств, облегчающих криптоанализ. Например, понятие "гладкости" неприменимо к эллиптическим кривым. То есть, не существует такого множества небольших элементов, используя которые с помощью простого алгоритма с высокой вероятностью можно выразить случайный элемент. Следовательно, алгоритмы вычисления дискретного логарифма показателя степени не работают work..
Особенно интересны эллиптические кривые над полемДля n в диапазоне от 130 до 200 несложно
разработать схему и относительно просто реализовать арифметический процессор для используемого поля. Такие алгоритмы потенциально могут послужить основой для более быстрых криптосистем с открытыми ключами и меньшими размерами ключей. С помощью эллиптических кривых над конечными полями могут быть реализованы многие алгоритмы с открытыми ключами, такие как Diffie-Hellman, EIGamal и Schnorr.
Соответствующая математика сложна и выходит за рамки этой книги. Интересующимся этой темой я предлагаю прочитать две вышеупомянутые работы и отличную книгу Альфреда Менезеса ( Alfred Menezes). Эллиптические кривые используются двумя аналогами RSA. Алгоритм Fast Elliptic Encryption (FEE, быстрое эллиптическое шифрование) компании Next Computer Inc. также использует эллиптические кривые. Приятной особенностью FEE является то, что закрытый ключ может быть любой легко запоминающейся строкой . Предлагаются и криптосистемы, использующие гиперэллиптические кривые.